- La "Ley de Moore" afirma que los
microprocesadores duplican su potencia y capacidad cada 18 ó 24 meses.
Esta ley se ha cumplido desde que fue enunciada en 1965 por Gordon
Moore, el cofundador de Intel. El chip de silicio, base de los
microprocesadores, fue inventado por Jack Kilby en 1958.
- La entropía es una magnitud que nos da el
grado de desorden o caos de un sistema. Las reacciones químicas o
físicas tienen la propiedad de que se producen sólo en el sentido en el
que aumenta o se conserva la entropía. La entropía crece con el volumen
y la temperatura. En general, es frecuente que las cosas tiendan a
estropearse y no a arreglarse solas: Es la entropía del mundo. La
segunda ley de la termodinámica lo afirma diciendo que el desorden de un
sistema aislado debe incrementarse con el tiempo o, como máximo
permanecer constante. O sea, si algo se ordena es porque recibe energía
externa al sistema. Por ejemplo, vemos que en la Tierra nacen plantas y
animales, que son formas bastante ordenadas de moléculas y átomos. Esto
es debido gracias a que las plantas utilizan la energía del Sol (fuente
de energía externa) y los animales utilizan la energía de las plantas o
de otros animales. Así, podemos asegurar que la entropía del Sol aumenta
por momentos. La primera ley de la termodinámica es la que afirma que la
energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma.
- El iridio es el metal más pesado del mundo
y uno de los más escasos. Un cubo de 30 cm. de lado pesaría 650 kilos.
Es blanco amarillento, funde a 2.440 grados centígrados, es muy
resistente, de símbolo químico Ir y número atómico 77. Fue
descubierto en 1803 por el químico Smithson Tennant.
- A una altitud de 10.000 metros (altura a
la que vuelan los aviones), la presión atmosférica es 4 veces menor que
a nivel del mar y la temperatura llega a los 55 grados centígrados bajo
cero.
- En condiciones normales y al nivel del mar el
aire pesa 1,2928 gramos por litro. Hay que decir que el aire
caliente pesa menos que el frio y el humedo más que el seco. Además, a
mayor altitud, menos pesa el aire.
- En una botella de aire comprimido
utilizada por los submarinistas, de 15 litros de capacidad a presión
normal (presión atmosférica, 1 atmósfera), se llegan a introducir 3.000
litros de aire a 200 atmósferas (200 veces la presión atmosférica normal
al nivel del mar). Al nivel del mar la presión es de 1 kilo por cm2.
- Un barómetro es un aparato para medir la
presión atmosférica. Básicamente consiste en un tubo en forma de U,
parcialmente lleno con un líquido (normalmente mercurio), abierto por un
extremo y cerrado por el otro, con el vacío en este último extremo. A
mayor presión atmosférica, mayor presión habrá en el líquido en el
extremo abierto y este empuje hará que el líquido baje en ese lado y
suba en el extremo cerrado. Esto sirve también para predecir el tiempo,
ya que bajas presiones indican mal tiempo (borrasca) y altas presiones
indican buen tiempo (anticiclón).
- El aire fluye de las regiones de altas
presiones (anticiclones) a las regiones de bajas presiones (borrascas),
en un camino curvo sobre la superficie de la Tierra debido a la rotación
de la Tierra. Por ejemplo, si en el Norte hay un anticiclón y en el Sur
una borrasca, el aire irá del Norte al Sur y en su camino, como la
Tierra gira hacia el Este y con ella gira también la borrasca, el aire
irá cada vez más en dirección Este, girando en el sentido contrario a
las agujas del reloj. Si el aire circulara del Sur al Norte el sentido
de giro sería el de las agujas del reloj, siendo este propio del
hemisferio Sur y el otro del hemisferio Norte. Estas desviaciones se
deben a la rotación de la Tierra y no a ninguna fuerza especial. Sin
embargo, a veces este efecto se dice que se debe a la fuerza de
Coriolis, por el científico francés Gaspard de Coriolis (1792-1843).
- Los tornados ocurren cuando se juntan dos
masas de aire, una fría (encima) y la otra caliente (debajo). Entonces,
el aire caliente tiende a subir y el frío a bajar, formándose
torbellinos de aire que pueden ser muy peligrosos. En la película
"Tornado" (Twister, 1996) se relatan los escalofriantes efectos de un
gran tornado ficticio.
- El Cloro es uno de los elementos químicos
más antiecológicos: Es un veneno mortífero si es arrojado al mar o a los
ríos. Basta ver las inmediaciones de algunas fábricas papeleras que
utilizan cloro para blanquear el papel. Además, una sóla molécula de
cloro lanzada a la atmósfera destruye hasta 10.000 moléculas de ozono,
el gas que nos protege de las radiaciones negativas del Sol.
- El transistor (base de los procesadores
actuales) fue inventado por John Bardeen y William Brattain el de
contactos puntuales o de puntas en 1948 y por William Shockley
(1910-1989) el de unión en 1951. Los tres fueron galardonados con el
Nobel de física en 1956.
- La marea alta se repite cada 12 horas y 25
minutos, en cualquier punto del planeta. Ese tiempo es la mitad del que
emplea la Luna para regresar aproximadamente a la misma posición
(en dar una vuelta a la Tierra). Esto se debe a que la Luna ejerce una
fuerza de atracción sobre el agua de los océanos que están en el lado
que está la Luna, alejándo este agua de la Tierra, pero también ejerce
una fuerza sobre la Tierra alejándola del agua del lado opuesto. Así
pues, las dos mareas se producen en los lados diametralmente opuestos y
en linea con la posición de la Luna. En realidad no es exactamente en
línea con la Luna, ya que el agua se mueve lentamente siguiendo la
velocidad de la Luna pero con retraso. Como efecto secundario esto hace
que la rotación de la tierra se vea frenada con lo que los días se hacen
cada vez más largos (unas 2 milésimas por siglo) y además la Luna es
acelerada y en consecuencia se aleja de la Tierra (unos 3 cm. por año).
El Sol también produce mareas pero son aproximadamente un tercio
más pequeñas que las producidas por la Luna. Así, durante la Luna Nueva
y la Luna Llena (2 veces al mes) estas fuerzas se alinean obteniendo
mareas más grandes de lo normal (mareas vivas o de sicigia). Durante los
cuartos lunares, Cuarto Creciente y Menguante (también 2 veces al mes),
las dos fuerzas se descompensan obteniendo mareas más pequeñas de lo
habitual (mareas muertas o de cuadratura).
- El metro se puede definir como la
distancia recorrida por la luz en el vacio en 0,000000003335640952
segundos (1/299.792.458), medidos por un reloj de cesio.
- El físico alemán de origen judío Albert
Einstein (1879-1955) nunca destacó por sus buenos resultados
académicos, lo que no le impidió recibir el premio Nobel de física en
1921 por sus trabajos sobre el efecto fotoeléctrico, y no por su más
famoso trabajo, la teoría de la relatividad, publicada en 1916 pero que
aún era discutida. Además, fue uno de los grandes pioneros en el estudio
de la mecánica cuántica. Sin embargo, fue muy crítico con ella sobre
todo cuando se empezaron a usar probabilidades para describir los
sistemas, a raíz del principio de incertidumbre de Heisenberg.
Refiriéndose a esto, es famosa la afirmación de Einstein indicando que
"Dios no juega a los dados". Se dice que un colega de Einstein y amigo
de toda la vida, el físico danés Niels Bohr (1885-1962), arto de
esta frase, en una ocasión le respondió: "¡Albert! ¡Deja de decirle a
Dios lo que tiene que hacer!". A consecuencia del nazismo de su pais
natal, Einstein, que era de origen judio, se nacionalizó en Suiza en
1901.
En 1905, siendo todavía un físico totalmente
desconocido, consiguió publicar tres artículos revolucionarios para la
física. Por el primero fue por el que se le concedió el Nobel y en el
tercero expone su teoría de la relatividad especial.
En 1914, cuando ya tenía un alto prestigio, fue a
trabajar a Alemania, nombrado director del instituto de investigación
Kaiser Wilhelm, en Berlín. Entonces, Einstein declaró: "Los alemanes
apuestan por mí como si fuera una gallina de primera clase, pero no
estoy muy seguro de que pueda poner otro huevo". Pero en 1916 publicó su
teoría de la relatividad general que le ha convertido, definitivamente,
en uno de los más grandes genios de la humanidad. Y todo, a pesar de que
la I Guerra Mundial (1914-1919) asolaba Europa.
Posteriormente, en 1940, durante la II Guerra
Mundial (1939-1945), se nacionalizó en Estados Unidos. En 1939 Einstein
firmó una carta la presidente Roosevelt pidiéndole que se creara un
programa de investigación de la reacción en cadena, pero en 1945, cuando
se hizo evidente que la bomba nuclear era realizable pidió a Roosevelt
que no se emplease, sin conseguirlo (en Agosto de ese año se arrojaron
dos bombas atómicas sobre las ciudades japonesas de Hiroshima y
Nagasaki). Hasta su muerte luchó activamente contra la proliferación de
las armas nucleares consciente de su peligrosidad. A la pregunta de cómo
sería la III Guerra Mundial respondió que la cuarta sería con piedras.
- La Teoría de la relatividad general, que
Albert Einstein (1879-1955) publicó en 1916 (y en otros artículos
anteriores), ha sido y es una de las teorías más influyentes de todos
los tiempos. Esta teoría es bastante compleja y contiene un montón de
implicaciones interesantes que han sido demostradas en diversas
ocasiones:
- La Teoría de la relatividad general es la mejor
teoría moderna de la gravitación: En esencia esta teoría indica
que la materia hace que se curve el entramado del Universo, llamado
espacio-tiempo. Para dar una idea de la teoría imaginemos un objeto
pesado en una cama elástica. Este, deforma su entorno (la cama) de
forma que si situamos una bola en la cama elástica esta se verá
atraida por el objeto. De la misma forma, según esta teoría, un objeto
deforma el espacio-tiempo de su alrededor y hace variar el movimiento
de otros objetos. Esta teoría es una ampliación de la teoría de
Newton, la cual sigue siendo útil para objetos con menor masa.
El principio de equivalencia de Einstein
establece que es imposible distinguir, por ningún método físico, entre
un campo gravitatorio univorme y una aceleración uniforme. Esto
implica que la luz es también atraída por la gravedad. Para demostrar
esto Einstein ya dijo en 1911 que sería muy útil un eclipse de Sol.
Pero no valía cualquier eclipse, pues el Sol desvía la luz de las
estrellas que se ven cerca de él, las cuales no pueden observarse por
culpa de la luz solar. Así, en un eclipse la luz solar es menor y
podrán observarse si estas estrellas son suficientemente brillantes.
Además, para observar que la luz ha sido desviada (y por tanto las
estrellas las vemos en posiciones cambiadas, donde no deberían estar)
es necesario que existan otras estrellas alejadas del Sol, que nos
sirvan de referencia. Un eclipse así tuvo lugar el 29 de Mayo de 1919
y cuando Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944) telegrafió a
Einstein para informarle que estaba en lo cierto, dijo "sabía que la
teoría era correcta" (según un testigo presencial). Luego, le
preguntaron cual hubiera sido su reacción de no haber sido cierta y
replicó: "Lo habría sentido por el buen Dios. La teoría, por supuesto,
es correcta". Hay que tener en cuenta que Einstein ya había comprobado
que su teoría era cierta, basándose en el movimiento del perihelio de
Mercurio.
- Para la teoría de la relatividad la
velocidad de la luz (señalada con la letra c) debe ser
constante independientemente del punto de referencia del observador,
cosa que encaja perfectamente con las teorías de James Clerk Maxwell
(1831-1879) quien ya dijo que la velocidad de la luz sería finita e
invariable. Esto tiene implicaciones muy importantes: Los relojes
en movimiento se mueven más despacio, es decir, cuando estamos el
movimiento nuestro tiempo pasa más despacio. Vamos a demostrarlo.
Imaginemos que dentro de un vagón de tren ponemos un espejo en el
techo y con el tren parado medimos el tiempo que tarda un pulso de luz
en viajar desde el suelo al techo, reflejarse en el espejo y volver al
suelo. Con esto podemos determinar la velocidad de la luz en parado.
Si repetimos el experimento con el tren en marcha, obtenemos la misma
velocidad para la luz, o sea, c es constante para todos los
observadores. Sin embargo, en un tren en movimiento la luz tiene que
recorrer un espacio mayor, ya que desde que se emite la luz hasta que
se refleja en el espejo, el tren se ha movido algo y, para un
observador externo al tren, la luz ha viajado oblicuamente hacia
arriba y luego, en el mismo sentido, oblicuamente hacia abajo. Pero
como la luz tarda el mismo tiempo la única alternativa es que cuando
el tren se mueve el reloj va más despacio por lo que en el mismo
intervalo de tiempo la luz recorre más espacio. Naturalmente, a
velocidades tan pequeñas como las de nuestros medios de transporte,
este efecto, aunque real, no tiene demasiadas implicaciones. Si
pudiéramos viajar en una nave a la velocidad de la luz, el tiempo se
pararía y los pasajeros de esa nave dejarían de envejecer mientras se
continuase a esa velocidad.
- A partir del experimento anterior no es díficil
deducir, usando el teorema de Pitágoras, la razón g (gamma) entre el
tiempo que transcurre fuera (T) y dentro (T') del tren:
g = T/T' = 1 / sqrt(1 - (v/c)2)
donde sqrt expresa la raíz cuadrada, v la
velocidad del tren y c la velocidad de la luz.
Esto nos da el valor exacto del factor de
alargamiento del tiempo cuando lo observamos en movimiento a
velocidad v. En la siguiente tabla podemos ver que este efecto apenas
tiene repercusión en la vida cotidiana, pues las velocidades
ordinarias están muy lejos de c:
Objeto móvil |
Velocidad (v) |
v/c |
g |
Coche |
100 Km/h |
0.00000009 |
1.000000000 |
Avión Concorde |
2000 Km/h |
0.000002 |
1.000000000 |
Bala de fusil |
1 Km/s |
0.000003 |
1.000000000 |
Velocidad orbital de la Tierra |
30 Km/s |
0.0001 |
1.000000005 |
10% de c |
30.000 Km/s |
0.1 |
1.005 |
50% de c |
150.000 Km/s |
0.5 |
1.155 |
90% de c |
270.000 Km/s |
0.9 |
2.294 |
99% de c |
297.000 Km/s |
0.99 |
7.089 |
99.99% de c (muones) |
299.970 Km/s |
0.9999 |
70.71 |
Esta tabla indica que para que el tiempo pase la
mitad de lento habría que ir a una velocidad cercana al 90% de c
(0.9c) y que conforme más nos acercamos a c, más crece este factor.
- Repitamos el experimento del tren pero poniendo
el espejo en un extremo del tren, de forma que la luz viaje en la
misma dirección que el tren. Así, cuando la luz viaja en el mismo
sentido que el tren, la distancia que recorre es mayor que cuando va
en sentido contrario al tren. Esto traería ciertas incoherencias y se
deduce que, en movimiento, el espacio se contrae en la dirección
del movimiento (y sólo en esa dirección) en un factor de 1/g.
- Según la mecánica de Newton si dos objetos se
mueven en sentidos opuestos a velocidades v y v', la velocidad
relativa entre ambos objetos es v+v', es decir, cada objeto ve al
otro a una velocidad de v+v'. Pues bien, eso que puede parecer lógico
es falso, aunque para velocidades alejadas de c es suficientemente
aproximado como para darlo por válido. Imaginemos dos cohetes que
viajan en sentidos opuestos a velocidades v=0.6c (60% de c) y v'=0.8c
(80% de c). Según la mecánica newtoniana la velocidad relativa sería
0.6c + 0.8c = 1.4c, que es una velocidad superior a la velocidad de la
luz (c), lo cual es imposible. Entonces, ¿cómo se calcularía esa
velocidad relativa (VR)? En vez de sumar v y v' hay que multiplicar V
y V' y luego calcular VR. V se calcula como sigue (V' se calcula de
igual forma):
V = sqrt ( (1 + v/c)/(1 - v/c) )
donde V2 = (1+0.6)/(1-0.6)=1.6/0.4=4
y por tanto V=2, y V'2 = (1+0.8)/(1-0.8)=1.8/0.2=9 y por
tanto V'=3. Así la velocidad relativa entre ambos cohetes es calculada
por:
VR / c = ((V*V')2 - 1) / ((V*V')2
+ 1) = 35/37 = 0.946 (aprox.)
que es una velocidad muy cercana a la de la luz,
pero no mayor que ésta. La demostración de esas ecuaciones escapa de
nuestro objetivo, pero es fácil ver que para las velocidades nuestras
habituales esto no tiene relevancia.
De ahí se obtienen otras consideraciones
curiosas: Si uno de los cohetes viaja a la velocidad c (la de la luz),
o sea v/c=1, la velocidad relativa entre ambos será también c
(infinito/infinito=1), excepto que v'/c=-1. Es decir, si v'/c=-1 es
que ambos viajan a velocidad c y en el mismo sentido y así nos
encontramos con el producto de infinito por cero que es una
indeterminación matemática, cosa lógica ya que no tiene sentido ver la
velocidad relativa si ambos viajan a velocidad c.
Las ecuaciones anteriores siguen siendo válidas
si cambiamos el sentido a un cohete para que ambos viajen en el mismo
sentido y tan sólo hay que tener en cuenta que dicho cohete tendrá
velocidad negativa. Se puede concluir que con la mecánica newtoniana
la velocidad relativa obtenida da valores demasiado grandes para
objetos que se mueven en sentido opuesto y demasiado pequeños para
objetos que se mueven en el mismo sentido.
- El tiempo pasa más lentamente cerca de
un cuerpo de gran masa (como la Tierra): Cuando la luz viaja
alejándose de un campo gravitatorio (como el terrestre), pierde
energía y, por lo tanto, su frecuencia disminuye o, en otras palabras,
aumenta la longitud de onda (período de tiempo entre una cresta de la
onda y la siguiente). Así, a alguien situado arriba le parecería que
todo lo que pasa abajo transcurre más lentamente. Esta predicción fue
comprobada en 1962, usándose un par de relojes muy precisos instalados
en la parte superior e inferior de un depósito de agua. Se demostró
que el reloj de abajo, que estaba más cerca de la Tierra, iba más
lento. Así, la gente que vive en las montañas envejece más rápido que
los que viven al nivel del mar. No obstante, en ese caso, la
diferencia es casi despreciable. Donde esta teoría se aplica es en los
sistemas de navegación de gran precisión, basados en señales
provenientes de satélites. Si se ignoraran las predicciones de la
relatividad general, la posición que uno calcularía tendría un error
de varios kilómetros.
- En la Teoría de la relatividad general
no existe un tiempo absoluto y único, sino que cada individuo
posee su propia medida personal del tiempo, que depende de dónde está
y de cómo se mueve dicho individuo.
- Otra predicción de esta teoría es que la
masa de un cuerpo en movimiento aumenta, siendo más pesado que si
estuviera inmóvil. La masa del cuerpo en movimiento es calculada, a
partir de su masa en reposo (m), por el siguiente producto: g * m.
Esta es la razón de porqué la velocidad de la luz es insuperable, ya
que cuanto más aumentamos la velocidad de un objeto más aumenta su
masa y por tanto resulta más difícil aumentar su velocidad y cuando
estamos cercanos a c su masa aumenta mucho más deprisa hasta que
(teóricamente) se haría infinita al llegar a c, cosa obviamente
imposible. Eso, es una consecuencia de que la masa y la energía son
equivalentes, siguiendo la célebre ecuación:
E=mc2
O sea, para dotar a un objeto de una velocidad v
partiendo del reposo necesita una variación de energía dE (energía
cinética) y esto implica una variación de su masa dd: dE=ddc2=(g-1)mc2.
Podría pensarse que el fotón contradice esa ley,
ya que viaja a velocidad c, pero si lo consideramos como una partícula
su masa en reposo será cero, cosa que no es incoherente para una
partícula que no puede dejar de moverse.
- Experimento de las dos rendijas del físico
británico Thomas Young (1733-1829): Considereremos una fina pared con
dos rendijas paralelas que dejen pasar la luz. En un lado se coloca una
fuente luminosa y en el otro una pantalla. La luz pasa por las dos
rendijas, incidiendo en la pantalla. Cualquier punto de la pantalla
recibirá luz de las dos rendijas. Sin embargo, la distancia que tiene
que viajar la luz desde la fuente a la pantalla, atravesando cada una de
las rendijas, será, en general, diferente. Esto significa que al incidir
las dos ondas luminosas en cada punto de la pantalla no estarán en fase:
En algunos puntos estarán en fase reforzando la luz que incide en ellos
y en otros estarán en desfase total, cancelándose ambas ondas y quedando
ese punto oscuro. El resultado en la pantalla es un característico
diagrama de franjas luminosas y oscuras que se alternan suavemente unas
con otras. Es curioso señalar que si sólo hubiera una rendija, el
resultado en la pantalla sería una distribución uniforme de la luz. Al
poner dos rendijas se espera que se aumente la luz en cada punto de la
pantalla. Sin embargo, debido a las interferencias, la luz disminuye en
algunos puntos y aumenta en otros.
- El cielo es azul y el sol amarillo
porque la luz del sol, que es blanca, al llegar a la atmósfera se
dispersa, siendo la luz azul dispersada con mayor facilidad por las
moléculas del aire. El sol es amarillo ya que este es el color
resultante de quitarle a la luz blanca el componente azul.
- El mar es azul porque refleja el color del
cielo. A veces, el mar se presenta verdoso debido a diminutas algas que
componen el fitoplancton, las cuales son verdes como todas las plantas
que realizan la fotosíntesis.
- Los arcoiris se forman por la refracción
de la luz del sol a través de las gotas de lluvia que caen. La luz
blanca del sol es descompuesta en sus colores (rojo, naranja, amarillo,
verde, azul, añil y violeta) por la refracción y es emitida desde las
gotas de agua en diferentes ángulos, por lo que de cada gota no podemos
ver todos los colores. Así, el arcoiris que vemos, el que llega a
nuestros ojos, está formado por esos colores, pero cada color proviene
de distintas gotas dependiendo de la altura de estas: Las gotas del
color violeta están más cerca del suelo que las que nos envían la luz
roja.
- Un microscopio óptico simple consiste en
dos lentes que forman una imagen real aumentada de un objeto. El tamaño
del objeto más pequeño que podemos ver con un microscopio óptico depende
de la calidad de las lentes, pero el límite está en la longitud de onda
de la luz que estamos usando: No podemos ver un detalle que sea más
pequeño que esa longitud de onda. La luz es una onda electromagnética y
la longitud de onda es la distancia entre dos crestas consecutivas de
una onda (por ejemplo, entre dos crestas de dos olas consecutivas del
mar). Así, para objetos o detalles muy pequeños el microscopio óptico se
muestra inútil, por lo que se usa un mircroscopio electrónico que
usa electrones, que se comportan como una onda con una longitud de onda
muy corta. La imagen, en un microscopio electrónico se forma de manera
muy parecida a como lo hace en una televisión.
- La electricidad que sale de las centrales
productoras se emite a unos 50.000 voltios o más. Esta electricidad se
transporta por cables usando las grandes torres metálicas que pueden
verse en el campo. De ahí, usando normalmente diversos transformadores
es reducida hasta los 220 voltios de la electricidad que llega a los
hogares. Cada aparato eléctrico suele tener internamente otro
transformador que reduce el voltaje a sus necesidades. El gran voltaje
inicial de las centrales eléctricas se debe a que es más económico
transferir la electricidad a grandes voltajes.
- La corriente eléctrica está formada por
cargas eléctricas en movimiento. Normalmente estas cargas eléctricas son
electrones, que tienen carga eléctrica negativa. Esta corriente, su
transporte y su consumo tienen una serie de características que pueden
variar. Estas características las exponemos a continuación comparando la
electricidad que fluye por los cables (conductores) que van desde la
central productora hasta nuestras casas con una tubería de agua que
fuera desde un depósito a cierta altura hasta el suelo:
- Intensidad: Es la cantidad de cargas que
pasan por un punto determinado en un segundo. Se mide en amperios
(A), unidad que recibe el nombre del científico francés André-Marie
Ampère (1775-1836). Un amperio equivale a 6 trillones (6 x 1018)
de electrones por segundo. En la tubería de agua la intensidad sería
la cantidad de agua que pasa en cada segundo.
- Voltaje: Mide la fuerza con que son
empujadas las cargas eléctricas a través del conductor. Se mide en
voltios (V), unidad que tiene ese nombre por el científico
italiano Alessandro Volta (1745-1827) que fue el que construyó
la primera pila eléctrica. En la tubería esta fuerza sería como la
presión del agua en el interior de la tubería que depende de la altura
de la torre.
- Frecuencia: Es una característica de la
corriente alterna (CA), que es la que hay en los enchufes de las
casas. La corriente continua (CC) no tiene frecuencia y es la que
encontramos en las pilas eléctricas, por ejemplo. La CA es llamada así
porque la corriente en un hilo conductor fluirá en un sentido la mitad
del tiempo y en otro sentido la otra mitad, alternativamente. Esto se
debe a que la electricidad es producida por generadores rotatorios. La
unidad de medida de la frecuencia es el Hertzio (Hz), nombre
que proviene del físico alemán Heinrich Hertz (1857-1894). Un
Herzio equivale a un ciclo completo por segundo, es decir, dos cambios
de sentido por segundo. En EE.UU. la electricidad se suele distribuir
a 60 Hz (120 cambios de dirección por segundo). Antes de ser utilizada
la electricidad, normalmente los aparatos incorporan un rectificador
que convierte la CA en CC. El movimiento de los electrones es lento,
por las colisiones que sufren. Así, su movimiento es de menos de 2
centímetros y medio por segundo. Como se mueven en los dos sentidos
alternativamente, los electrones nunca van demasiado lejos de su punto
de partida inicial. En el ejemplo del agua no hay frecuencia, ya que
el agua sólo fluye en un sentido, como la CC.
- Potencia: Mide el total de energía que
puede consumirse por segundo. Esta es una característica de los
aparatos que utilizan la electricidad y nos indica si consumen mucho o
poco. El consumo total depende, naturalmente, del tiempo que esté el
aparato consumiendo esa potencia. La potencia se mide en vatios
o watt (W), nombre dado por el ingeniero y mecánico escocés James
Watt (1736-1819). Un vatio equivale a la energía de un julio
consumida en un segundo. En nuestro ejemplo, la potencia sería la
cantidad total de agua que un determinado uso puede gastar por
segundo.
- Potencia consumida (consumo): Mide el
total de energía consumida en un intervalo de tiempo. Se mide en
vatios/hora o, más frecuentemente, en kilovatios/hora. Así,
una bombilla de 100 vatios, funcionando durante 10 horas consume un
total de 1000 vatios/hora que equivale a 1 kilovatio/hora. En el
ejemplo del agua, el consumo sería el total de agua consumida en un
intervalo de tiempo determinado.
- Resistencia: Mide el fenómeno por el que
un conductor (cable...) se opone al paso de la corriente eléctrica,
convirtiendo algo de energía eléctrica en calor. La resistencia está
situada a lo largo de todo un circuito eléctrico y puede variar de un
lugar a otro. Por ejemplo, una bombilla (u otro aparato eléctrico)
supone una resistencia mayor que la del cable. La resistencia se mide
en ohmios (representado por la letra griega omega mayúscula).
El nombre de esta unidad proviene del físico alemán Georg Simon Ohm
(1789-1854). Un ohmio puede definirse como la resistencia de un
conductor que, recorrido por una corriente de 1 amperio, emite una
potencia de 1 vatio en forma de calor. En el ejemplo de la tubería de
agua, la resistencia sería el diámetro de la tubería, de forma que a
menor diámetro mayor resistencia opone la tubería al paso del agua.
- El ingeniero y mecánico escocés James Watt
(1736-1819) inventó la máquina de vapor y definió una unidad para medir
su potencia: El caballo de vapor. Por aquel entonces, en las minas se
utilizaban caballos para extraer agua y otros materiales. Para poder
vender sus máquinas a los ingenieros de minas, Watt midió el trabajo que
realizaba un caballo típico durante un período grande de tiempo y luego
calibró sus máquinas de acuerdo con ello. Así, pudo decirle a su
clientela que una máquina de un caballo de vapor reemplazaría a un
caballo.
- La eficiencia de una máquina nos dice lo
buena que es transformando energía en trabajo y se consigue dividiendo
la energía desarrollada entre la energía consumida y multiplicando el
resultado por 100. Por ejemplo, un coche de gasolina tiene una
eficiencia del 15% aproximadamente, en un tren es del 35%, en un
generador eólico (molino) es superior al 40% y una bicicleta tiene una
eficiencia del 90%. La bicicleta ha ido evolucionando hasta convertirse
en una de las máquinas más eficientes que existen: los pedales apareren
en 1839, los frenos en 1860, la cadena en 1869, los neumáticos (con
aire) se inventan en 1845 por William Homson, pero a la bicicleta no se
aplican hasta 1888 por John Dunlop empeñado en que su hijo ganara una
carrera de bicicletas. El cambio de piñón y los frenos de cable datan de
1896.
- Todas las ondas electromagnéticas , como
la luz, las ondas de radio y los rayos X viajan en el vacio a la misma
velocidad, llamada velocidad de la luz, que se suele representar por la
letra minúscula c, donde c vale 299.792'5 kilómetros por segundo, con un
margen de error de 0'5. En general se suele redondear diciendo que la
velocidad de la luz es 300.000 Km/sg en el aire (225.000 Km/sg en el
agua).
- Guglielmo Marconi (1874-1937) fue el
primero que usó las ondas de radio para enviar mensajes a largas
distancias. El primer mensaje fue enviado cruzando el océano Atlántico
en 1894. Marconi utilizó el descubrimiento, en 1888, de las ondas de
radio por parte de Heinrich Hertz.
- Hay muchos tipos de ondas electromagnéticas,
desde las ondas de radio hasta los rayos gamma, pasando por la luz
visible. La única diferencia entre todos los tipos de ondas
electromagnéticas es su longitud de onda. La longitud de onda es la
distancia entre dos crestas consecutivas de una onda. Los tipos de ondas
electromagnéticas conocidas y su longitud de onda asociadas son las
siguientes, donde la luz visible va desde la luz roja a la violeta:
- Radio AM: Desde decenas a cientos de
kilómetros.
- Radio FM/TV: Desde varios decímetros a
varios kilómetros.
- Microondas: Varios centímetros.
- Infrarrojos: Varias milésimas de
centímetro (desde 400 micrometros a 0'8 micrometros).
- Luz roja: 8000 átomos (0'8 micrometros).
- Luz violeta: 4000 átomos (0'4
micrometros).
- Ultravioleta: Cientos de átomos (desde
0'4 micrometros a 120 Angstroms).
- Rayos X: Unos pocos átomos (de 120 a
0'05 Angstroms).
- Rayos gamma: Desde el tamaño de un átomo
al tamaño de un núcleo (menos de 0'05 Angstroms).
NOTA: El Angstrom es una unidad de longitud
que equivale a 10-10 metros y su símbolo es una A con un
pequeño círculito encima de ella. Su nombre proviene del físico sueco
Anders Jonas Angstrom (1814-1874) (con un circulito encima de la
A y diéresis en la o). Este físico fue el primero en medir longitudes de
onda y determinar los límites del espectro visible.
- El cuerpo humano puede detectar varios tipos de
ondas electromagnéticas, aparte de la luz visible, desde la luz
roja a la violeta. Cuando notamos el calor de un cuerpo, notamos las
ondas o radiación infrarroja. Cuando se sufre una insolación por estar
demasiado tiempo bajo el sol es una prueba de que también detectamos la
radiación ultravioleta.
- Todas las ondas electromagnéticas son
absorbidas total o parcialmente por la atmósfera, evitando que se
transmitan a distancias mayores de las que lo serían si no fueran
absorbidas. Sin embargo, hay dos tipos de estas ondas que se pueden
transmitir a grandes distancias en la atmósfera: Las ondas de radio y
las ondas de luz visible. Por eso, cuando los astrónomos quieren
detectar otros tipos de ondas procedentes del espacio (rayos X,
infrarrojos, ultravioleta, microondas...) deben situar los aparatos
receptores fuera de la atmósfera, en satélites especializados.
- Los espejismos se forman debido a que la
luz se refracta al pasar a través de capas de la atmósfera a distintas
temperaturas. Así, si en el desierto se ve una palmera a lo lejos es
porque la luz va directamente hacia el observador, pero la palmera
también refleja la luz hacia el suelo y, esta luz, por efecto del aire
caliente, es curvada hacia arriba, como si rebotara en el suelo, por lo
que al observador le da la impresión de que la palmera se refleja en el
agua.
- El físico escocés James Clerk Maxwell es
famoso por reunir en los años 1870 las llamadas ecuaciones de Maxwell,
en las que se resumen las leyes básicas de la electricidad y el
magnetismo. Sin embargo, Maxwell también fue pionero de la fotografía en
color, siendo el autor de la primera fotografía en color de la historia,
una fotografía de sorprendente calidad de un racimo de uvas, que formó
parte de su tesis doctoral. La fotografía todavía puede verse en la
Universidad de Cambridge, donde estudió.
- Un imán puede desimantarse o mejor dicho,
desmagnetizarse si se calienta lo suficiente como para que la fuerza
magnética de sus átomos se desordenen al azar. Para volver a
magnetizarlo basta con situarlo en un campo magnético lo suficientemente
fuerte para que esa fuerza vuelva a ordenarse. Sólo hay unos pocos
materiales que son magnéticos de forma natural, como el hierro, el
níquel y el cobalto. También son magnéticos algunas aleaciones, como el
acero, pero los imanes permanentes más potentes son aleaciones de
hierro, boro y neodimio.
- Los egipcios y los mesopotámicos se
pueden considerar como los padres de la ciencia, ya que desde finales
del milenio IV a.C., desarrollaron unos conocimientos que sirvieron de
base a los griegos. Entre otras cosas, inventaron los primeros sistemas
de escritura y los primeros sistemas de numeración estructurados. En
Mesopotamia usaban la base de numeración 60, número que debía de ser
mágico para ellos y que es la mayor base de la historia. Los
egipcios optan por el sistema decimal (base 10), el más frecuente de la
historia y el que usamos actualmente. Crearon los primeros calendarios,
basados en el ciclo de la Luna (29 días y medio) que es fácil de
percibir, obteniendo años de 354 días. Sin embargo, con ese calendario
se produce un desfase en las estaciones (ajustadas a los 365 días y
cuarto del año solar). Los mesopotámicos crearon un burdo calendario de
12 meses de 29 y 30 días alternos añadiendo un mes cada cierto tiempo
para corregir el desfase. Los egipcios reservaron el calendario lunar
para la vida religiosa y crearon un calendario civil de 365 días (12
meses de 30 días y 5 días más aparte), que coincide con el período de
tiempo entre dos solsticios de verano, entre dos apariciones por el Este
de Sirio (Sothis, para los egipcios), época que coincide con la crecida
del Nilo.
- La semana es, históricamente, una
agrupación de días. Los egipcios usaban semanas de 10 días, pero
nosotros hemos heredado las semanas de 7 días de los romanos y estos a
su vez de los mesopotámicos y la correspondencia de sus nombres con los
astros, ya que los romanos designaron cada día al culto a una divinidad:
- Lunes: Del latín dies lunae, día
de la Luna. En inglés, Monday, de Moon (Luna).
- Martes: Del latín dies martis,
día de Marte (dios de la guerra). En inglés, Tuesday.
- Miércoles: Del latín dies mercuri,
día de Mercurio (dios del comercio y de los caminantes, mensajero de
los dioses). En inglés, Wednesday.
- Jueves: Del latín Iovis dies, día
de Júpiter (dios que fue asimilado al Zeus griego, dios de los
dioses). En inglés, Thursday.
- Viernes: Del latín veneris dies,
día de Venus (asimilación de la diosa Afrodita griega, diosa del amor
y de la belleza). En inglés, Friday.
- Sábado: Día de Saturno (dios de los
vendimiadores y campesinos). En inglés, Saturday. Aunque, el
nombre de Sábado proviene del latín sabbatum y este del hebreo
sabbath, que significa descanso. Este es, históricamente, el
séptimo día de la semana y es el que dedican los judios al descanso,
ya que según la Biblia Dios descansó en el séptimo día.
- Domingo: Del latín Dies Dominicus,
día del Señor. Los romanos dedicaron este día al Sol. En inglés,
Sunday, de Sun (Sol). Históricamente el Domingo es el
primer día de la semana. Los cristianos trasladaron el día de descanso
al primer día de la semana para conmemorar la Resurrección de Cristo,
que tuvo lugar en ese día. No obstante, en la actualidad se considera
al Domingo como el séptimo día y existe una recomendación para hacerlo
así, del ISO (International Standard Organization, Organización
Internacional de Estándares).
- Un año es el período de tiempo que tarda
la tierra en dar una vuelta alrededor del sol y aproximadamente consiste
en 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, o sea 365 días y un
cuarto menos 11 minutos y 14 segundos. Normalmente se redondea diciendo
que dura 365 días y un cuarto. Esa cuarta parte de un día se va
acumulando, de forma que cada cuatro años se añade un día más al año, el
29 de Febrero, llamándose año bisiesto. Como es menos de un cuarto,
algunos años que deberían ser bisiestos no lo son, como se verá a
continuación.
- A lo largo de la Historia, ha habido diversos
calendarios con los que el hombre ha intentado medir el tiempo. Los
más importantes han sido los 3 siguientes, que han sido sucesivas
aproximaciones para medir el tiempo en años:
- Calendario egipcio: Estaba formado por
12 meses de 30 días, seguidos de una fiesta de 5 días. En total 365
días. Como esa no es la auténtica duración del año, el año se
desplazaba casi un cuarto de día al año. Por tanto, con este
calendario, en menos de 700 años se notaría que el tiempo cambia y que
en invierno hace calor y en verano frío.
- Calendario juliano: Elaborado por el
astrónomo griego Socígenes de Alejandría, fue introducido por Julio
César en el año 46 a.C. resolvió parcialmente el problema del
calendario egipcio introduciendo un día extra cada 4 años en los
llamados años bisiestos ("bis sexto die ante calendas martias"
en la nomenclatura romana). Para compensar el deslizamiento del
calendario egipcio, a ese año se le añadieron 2 meses extra, así como
23 días más en Febrero. Así, el año 46 a.C. es el año más largo
registrado, con 455 días. Esta mejora también producía desplazamiento
de las estaciones, aunque más lentamente (más de 7.5 días cada 1000
años). Como fundador, Julio César se dedicó un mes a sí mismo, el de
Julio, con 31 días. Cuando su sobrino Octavio Augusto se convirtió en
emperador de Roma, también se apropió de un mes, el de Agosto, al que
le añadió un día más, quitándoselo al mes de Febrero.
- Calendario gregoriano: Introducido por
el Papa Gregorio XIII en 1582, modifica el juliano evitando los años
bisiestos cuando caen en las centenas excepto cuando son divisibles
por 4. Así, el año 1900 no fue bisiesto y si lo será el 2000. Cuando
se introdujo este calendario se decretó que el día 5 de octubre fuera
el 15 de octubre para corregir el desfase entre el calendario juliano
y el solar. Por tanto, el año 1582 es el año más corto registrado y se
eliminaron, de esta guisa, 10 días de la Historia. Este calendario fue
aceptado de inmediato por los países católicos. Francia lo hizo el
mismo año pero en Diciembre, pasando del 9 al 20, aunque desde 1793 a
1806 se utilizó el llamado calendario republicano francés. En Gran
Bretaña se aceptó en Septiembre de 1752, pasando del 2 al 14, pues ya
se había acumulado un día más de retraso. Japón adoptó este calendario
en 1863, Rusia en 1918, Rumanía y Grecia en 1924 y Turquía en 1927.
Existen calendarios (como el llamado Fijo Internacional o el llamado
Universal) propuestos para sustituir al gregoriano que evitan la
desigualdad en la duración de los meses, pero aún no han sido muy
tenidos en cuenta.
- Se cree que el calendario gregoriano, que
se usa en casi todo el mundo, tiene un error de 4 años. Probablemente el
culpable sea un monje escita del siglo VI llamado Dionisio el Exiguo,
también conocido como el pequeño Dionisio (se supone que por su tamaño).
Este fraile realizó los cálculos en los que se basó la reforma
gregoriana (hecha en 1582). Para actualizar el sistema implantado en
tiempos de Julio César, tomó como punto de partida el nacimiento de
Jesús, que ubicó en el 753 de la fundación de Roma, en vez de en el 749.
Es tanto como decir que Cristo nació en el año 4 antes de Cristo.
Además, Dionisio el Exiguo utilizó el sistema numérico romano en el que
no existía el cero, por lo que situó el inicio de la era en el año 1 (el
Anni Domini Nostri Jesu Christi). Por tanto, el año 0 no existió
y del año 1 a.C. se pasa directamente al 1 d.C. Por esto, y sin tener en
cuenta el desplazamiento de 4 años, tenemos que el tercer milenio
empieza, junto con el siglo XXI, el día 1 de Enero del año 2001. Sin
embargo, cuando llegó el año 2000 hubo mucha agitación a nivel mundial
creyendo que se cambiaba de milenio y siglo. Televisiones, periódicos y
otras organizaciones serias cayeron en ese error convencidos de estar en
lo cierto. Hasta el director del comité olímpico, Juan Antonio
Samaranch, declaró que los Juegos de Sydney del 2000 serían "los
primeros Juegos Olímpicos del Siglo XXI".
- En el mundo hay otros 40 calendarios
vigentes, aunque el gregoriano se usa de forma oficial en casi todos los
países. Así, por ejemplo, a la llegada del año 2000, el pueblo judío
estaba en un día cualquiera de mediados del año 5759 según su calendario
luni-solar con años comunes (de 12 meses) y embolísticos (de 13 meses) y
ambos pueden ser, a su vez, defectivos (353 ó 383 días), regulares (354
ó 384 días) o abundantes (355 ó 385 días). Los musulmanes se hallaban en
el año 1421 según su calendario lunar con años de 12 meses y de 354 ó
355 días (33 años corresponden a 32 años gregorianos), en el que la
Hégira (huida del profeta de La Meca a Medina) se celebra el primer día
del tercer mes y el Ramadám es el noveno mes. Los hindúes, con su
calendario Saka, estaban en 1922. En el calendario chino corresponde al
año 4636.
- La elección del 25 de Diciembre como fecha
del nacimiento de Cristo obedeció más a criterios religiosos que
históricos. Tras barajar varias fechas (28 de Marzo, 2 de Abril, 18 de
Noviembre y 6 de Enero), el Papa Liberio en el año 354 optó por fijar la
Navidad en el solsticio de invierno para sustituir la festividad
dedicada a la diosa Mithra, divinidad del Sol.
- La Pascua de Resurrección es una fiesta de
la liturgia cristiana que se celebra en Primavera (con fecha variable),
en memoria de la Resurrección de Cristo. Esta fecha es variable debido a
que el calendario litúrgico o eclesiástico, que también es anual,
utiliza las fases de la Luna. Esta fecha es 3 días después del Jueves
Santo día en que los cristianos rememoran la muerte de Cristo en la
Cruz, ya que las Sagradas Escrituras dicen que "resucitó al tercer día".
Toda esa semana es llamada Semana Santa y los cristianos suelen sacar
sus imágenes en procesión. El concilio de Nicea (325), convocado por el
emperador Constantino I el Grande, estableció a la cristiandad que la
fiesta de Pascua debe celebrarse cada año el Domingo siguiente al primer
plenilunio tras el equinoccio de Primavera, fijado el 21 de Marzo. Esto
hace que la fecha de Pascua esté siempre comprendida entre el 22 de
Marzo y el 25 de Abril, ambas incluidas. Este calendario hace que el
Jueves Santo sea siempre con Luna llena. El afamado y astuto matemático
Karl F. Gauss (1777-1855), ideó un método para calcular la fecha
exacta en la que celebrar la Pascua de Resurrección. Según la fórmula de
Gauss la fecha de Pascua debe ser una de las dos siguientes (la única
que exista de las dos):
- El (22 + d + e) de Marzo.
- El (d + e - 9) de Abril.
Teniendo en cuenta que, si representamos como "x
MOD y" el resto de la división entera "x/y", se establece que:
- a = año MOD 19
- b = año MOD 4
- c = año MOD 7
- d = (19a + M) MOD 30
- e = (2b + 4c + 6d + N) MOD 7
y donde M=15 y N=6 en el calendario juliano. En el
calendario gregoriano los valores de M y N varían lentamente y, hasta el
año 2100, tienen los siguientes valores: M=24 y N=5. Algunos ejemplos,
son los siguientes: En 1988 y en 1994 la Pascua se celebró el 3 de
Abril, en 1995 fue el 16 de Abril, en 1996 fue el 7 de Abril, en 1997
fue el 30 de Marzo y en 1998 fue el 12 de Abril.
Otra forma de calcular esta fecha es utilizando el
algoritmo de Butcher, del "Almanaque eclesiástico" de 1876, que es
válido para el año 1582 y los años posteriores a este:
- A = año MOD 19
- B = año / 100
- C = año MOD 100
- D = B / 4
- E = B MOD 4
- F = (B+8) / 25
- G = (B-F+1) / 3
- H = (19A + B - D - G + 15) MOD 30
- I = C / 4
- K = C MOD 4
- L = (32 + 2E + 2I - H - K) MOD 7
- M = (A + 11H + 22L) / 451
- N = H + L - 7M + 114
- MES = N / 31
- DIA = 1 + (N MOD 31)
Las fechas de Pascua se repiten en idéntica
sucesión en un periodo de 5.700.000 años y en ese lapso de tiempo la
fecha más frecuente es el 19 de Abril.
- El segundo fue definido en 1967 por la
Comisión Internacional de Pesos y Medidas como el tiempo que necesita un
electrón para girar sobre su propio eje dentro de un átomo de cesio. El
llamado reloj atómico puede medir la longitud de un segundo con una
exactitud de 13 cifras decimales. Más exacto aún es el movimiento del
electrón en una molécula de hidrógeno que consigue una exactitud de 15
cifras decimales. Por debajo del segundo existen otra unidades:
milisegundo (milésima parte de un segundo, 10-3
segundos), microsegundo (millonésima de segundo, 10-6
segundos), nanosegundo (milmillonésima de segundo, 10-9
segundos), picosegundo (billonésima de segundo, 10-12
segundos) y femtosegundo (milbillonésima de segundo, 10-15
segundos).
- Una neurona tarda en excitarse un tiempo
del orden del milisegundo, mientras que los circuitos electrónicos
más veloces tardan un tiempo de un orden cercano al picosegundo. Esto
implica que los ordenadores procesan la información más rápidamente de
modo general. Determinadas tareas son, hoy día, imposibles de efectuar
por los ordenadores o, al menos, estos son más lentos que el hombre
(procesamiento de información visual, aprendizaje...). La razón de la
velocidad de nuestro cerebro en esas acciones no estriba en la velocidad
de las neuronas sino en la complejidad de su diseño, muy superior al
ordenador más potente que se pueda fabricar hoy día.
- El astrónomo y físico italiano Galileo
Galilei (1564-1642) demostró que todos los cuerpos caen con la misma
aceleración, independientemente de su masa y densidad. Esta aceleración
es 9.75 m/s2, o sea, un cuerpo que cae incrementa su
velocidad en 9.75 metros por segundo en cada segundo. Se cuenta que hizo
sus experimentos arrojando cuerpos de distintos materiales desde la
famosa torre inclinada de Pisa (su ciudad natal), que por aquellos
entonces estaba menos inclinada.
- La ley de la Flotabilidad de Arquímedes
(287-212 a.C.) indica que si sumergimos un cuerpo en un fluido este
sufre un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de
fluido desalojado. Así, si el cuerpo es menos denso que el líquido,
flotará y si es más denso, se hundirá. Esta es la razón por la que
flotan todos los barcos, incluidos los de hierro y acero: La cantidad de
agua desplazada es igual al volumen de hierro más el aire dentro del
casco y aunque el hierro es más denso que el agua, el aire es menos
denso y hay siempre más volumen de aire que de hierro. Por eso, si se
llenara el barco de hierro o de agua... se hundiría.
- Se le atribuye al sabio griego Arquímedes
(287-212 a.C.), alumno de Euclides, el descubrimiento de la ley de la
Flotabilidad (ver punto anterior). Se cuenta que Hierón, rey de Siracusa
(su ciudad natal), le pidió que demostrara si una corona era de oro puro
o adulterado y, dándole vueltas a la cabeza, al meterse en el baño y
observar cómo subía el nivel del agua exclamó "¡Eureka!", que
significa "¡Lo encontré!", y salió a la calle desnudo gritando "¡Eureka!
¡Eureka!". Su idea era medir el agua desplazada por la corona y luego el
agua desplazada por un peso igual de oro. Se desconoce el resultado de
la verificación. También ideó una bomba de tornillo utilizada para subir
agua, dándole vueltas manualmente. Arquímedes dirigió la defensa de
Siracusa contra los romanos, manteniendo en jaque a la armada del
general romano Marcelo durante 3 años. Construyó máquinas para lanzar
piedras a gran distancia y se dice que incendió las naves de los
invasores mediante un sistema de espejos. Al entrar los romanos en
Siracusa, Marcelo mandó que le trajeran vivo al sabio, pero fue muerto
por un soldado romano que, sin conocerle, se irritó al no obtener
ninguna respuesta de este cuando estaba absorto pensando en un problema.
Marcelo sintió gran pena por la muerte de Arquímedes y se dice que sobre
la lápida de su tumba hizo grabar una circunferencia inscrita en un
triángulo, figura que recuerda uno de sus célebres teoremas.
- Debido a la ósmosis, cuando nos bañamos
largo tiempo, se nos arruga la piel, porque el agua ha traspasado la
piel pasando dentro de las células. La ósmosis indica que si dos
soluciones son separadas por una membrana, el agua sólo, sin las
moléculas de la solución, puede moverse a través de la membrana,
cambiando la concentración de la solución a ambos lados de la membrana.
- El calor es una forma de energía cinética
a nivel atómico. La energía cinética es la debida al movimiento de un
cuerpo y depende de su velocidad y masa. Un objeto está caliente cuando
sus átomos se mueven rápidamente y frío cuando sus átomos se mueven con
lentitud. Debido a este movimiento, los cuerpos calientes se expanden o
dilatan.
- El cero absoluto es aquella temperatura en
la que se detiene todo movimiento atómico y equivale a -273.15 grados
centígrados (el cero en la escala Kelvin, 0ºK). En realidad no se
detiene todo movimiento, sino que es el estado energético menor posible.
Podemos comparar esa temperatura con la del interior del Sol que está
aproximadamente a 14 millones de grados centígrados, con el núcleo de la
Tierra que está a 3727ºC o con la temperatura normal del cuerpo humano
que es de 37ºC.
- La conductividad es una propiedad que mide
la facilidad de la materia para permitir el paso de una corriente
eléctrica. Según esta propiedad, podemos clasificar los materiales en:
- Conductores: En estos materiales existen
algunos electrones que no están ligados a átomos particulares sino que
se pueden mover por todo el material y son llamados electrones de
conducción. En el cobre (Cu), por ejemplo, hay aproximadamente un
electrón de ese tipo por cada átomo. En general, los metales son
buenos conductores y dentro de estos el oro (Au) y la plata (Ag) son
mejores que el cobre pero en la inmensa mayoría de los casos (cables,
circuitos...) se usa el cobre por ser más barato.
- Aislantes: Cuando los electrones de un
cuerpo se hallan fuertemente ligados a sus átomos es muy dificil que
conduzcan electricidad. Son aislantes el plástico, la madera, el
cristal, el aire... No obstante, todos los materiales pueden ser
conductores si el voltaje es suficientemente alto. Por ejemplo,
durante las tormentas se acumula una gran carga eléctrica en las nubes
que puede ser conducida a través del aire provocando los relámpagos y
los rayos.
- Semiconductores: Son materiales
conductores pero que ofrecen bastante resistencia al paso de una
corriente electrica. Por ejemplo, el silicio (Si) y el germanio (Ge)
son semiconductores, es decir, tienen muy pocos electrones de
conducción. El silicio puede transportar una millonésima parte de la
corriente que puede transportar el cobre. Gracias a los
semiconductores se han podido construir elementos electrónicos tales
como los diodos o los transistores que han permitido el avance de esta
tecnología hasta los modernos ordenadores. Pensemos que en un
microchip de pocos cm2 puede haber millones de
transistores. El microchip fue inventado por el norteamericano Jack
Kilby en 1959. Afortunadamente para todos, el silicio es un elemento
bastante abundante en la Naturaleza: Casi todas las playas de arena
tienen grandes cantidades de este útil elemento.
- Superconductores: Son materiales que
transportan la electricidad sin casi pérdida de energía (sin
calentarse). Este comportamiento se observa con mayor facilidad cuanto
menor sea la temperatura. Por ejemplo, los primeros superconductores
tenian que utilizarse en un baño de helio (He) líquido a 4 grados
kelvin (4 grados por encima del cero absoluto). Conseguir materiales
superconductores (o similares) a temperatura ambiente es uno de los
logros de la física que aún no se han conseguido. Se han encontrado
materiales superconductores a más de 100 grados kelvin utilizando un
baño de nitrógeno (N) líquido (más barato que el helio), pero son
cerámicas quebradizas y con bastantes inconvenientes.
- El átomo está formado por un núcleo
central y electrones que giran alrededor de éste. Los electrones
(descubiertos en 1897 por el físico inglés J.J. Thomson) tienen carga
eléctrica negativa y una masa despreciable por lo que casi toda la masa
del átomo está en el núcleo (los protones y neutrones son 1836 veces más
pesados que los electrones). El núcleo fue descubierto en 1911 por
Ernest Rutherford, premio Nobel de Química en 1908, antes de su mayor
descubrimiento. Si comparamos el átomo con una gran catedral, el núcleo
sería más pequeño que una cabeza de alfiler. El núcleo está formado por
protones (con carga positiva) y neutrones (sin carga). El número de
protones o número atómico es lo que varía de un átomo a otro y lo que
hace variar las propiedades de este. Así, el hidrógeno (H) tiene un
protón, el helio (He) tiene dos, el oro (Au) tiene 79, la plata (Ag)
tiene 47... y todos están clasificados en la tabla periódica de los
elementos que construyó por vez primera el químico ruso Mendeleyev en
1870. El número de neutrones no cambia la naturaleza química del átomo.
Se llaman isótopos a los átomos con igual número de protones y distinto
número de neutrones. Un dato que muestra el minúsculo tamaño de los
átomos es el hecho de que una mota de polvo contiene aproximadamente un
millón de millones de átomos (109).
- El químico ruso Dmitry Ivanovich Mendeleyev
(1834-1907), en 1870, ordenó los 57 elementos químicos conocidos en su
tiempo según sus pesos atómicos. Observó que en la tabla había algunos
huecos y aseguró que esos elementos existían pero que aún no se habían
descubierto. Además, predijo con acierto las características
físico-químicas que tendrían. Con el tiempo se pudo comprobar que
Mendeleyev tenía razón, al descubrirse elementos como el galio o el
germanio. La forma habitual de representar esta tabla, llamada tabla
periódica de los elementos responde a una ordenación por filas por su
número atómico y por columnas elementos con similares propiedades
químicas. La tabla se completó al descubir el uranio (U, 92). Más allá
del uranio se encuentran los llamados elementos transuránicos, que son
muy inestables y pierden su masa emitiendo radiactividad, por lo que
esos elementos no existen de forma natural en la Naturaleza, aunque se
pueden fabricar artificialmente en los aceleradores de partículas. De
los 109 elementos, 89 se dan de forma natural en la Tierra, aunque pocos
(como el oro) se dan en su estado puro (sin formar compuestos con otros
elementos). El resto se pueden obtener sólo artificialmente. El tecnecio
(Tc, 43) fue el primer elemento obtenido artificialmente, en 1937. Los
elementos más abundantes del Universo (97%) son el hidrógeno (H, 1) y el
helio (He, 2). El elemento más "raro" (menos abundante) en la atmósfera
terrestre es el gas radón (Rn, 86), que es también el más denso de los
gases raros y que fue descubierto en 1900 por Dorn, que le llamó
emanación del radio. En la Tierra el elemento más raro es el astato (At,
85) y el metal más raro el rodio (Rh, 45).
De esos 109 elementos todos son sólidos a
temperatura ambiente (20ºC), excepto 11 gases (como el hidrógeno, el
oxígeno, el fluor y los gases nobles) y 2 líquidos (el mercurio y el
bromo). Los halógenos son el fluor, cloro, bromo, yodo y astato, son
venenosos y tienen un fuerte olor.
- El nombre de los elementos químicos se
deben a diversas razones. Por ejemplo, el hidrógeno (con símbolo H y
número atómico 1) lleva a su nombre por ser el generador del agua (del
griego Hydro genes). El cesio (Cs, 55) significa "azul cielo",
por el color que emite. Otros nombres se han dado para recordar a
famosos científicos, como el einstenio (Es, 99) a Einstein, el
mendelevio (Md, 101) a Mendeleyev, el nobelio (No, 102) a Nobel y
también a lugares, como el europio (Eu, 63) y el berkelio (Bk, 97) por
la ciudad de Berkeley donde fue descubierto.
- Los catalizadores son sustancias que
aceleran las reacciones químicas ayudando a que las otras sustancias
reaccionen más rápidamente, sin que ellos sufran cambios a lo largo de
la reacción química. Por ejemplo, si vertemos azúcar en un refresco con
gas, sirve de catalizador para que el dióxido de carbono disuelto en la
bebida se libere a mayor velocidad.
- La radiactividad es una propiedad que
tienen algunos átomos de desintegrarse a sí mismos emitiendo partículas
desde el núcleo. Afortunadamente esta propiedad la tienen pocos
elementos como, por ejemplo el uranio (U), de número atómico 92. Con el
proceso de desintegración el núcleo pierde masa que es convertida en
energía a través de la famosa ecuación de Einstein: E=mc2,
donde c es la velocidad de la luz (299.792'5 Km/sg).
- La datación radiométrica consiste en
averiguar el tiempo transcurrido desde la muerte de un organismo vivo,
basándose en la vida media de algunos átomos radiactivos. La más famosa
es la del carbono-14, ya que el carbono se toma de la atmósfera y
se incorpora a los tejidos vivos constantemente. Cuando el organismo
muere el carbono-14 comienza a desintegrarse, teniendo una vida media de
5730 años. Estimando cuánto se ha desintegrado el carbono-14 se puede
dar una idea de cuánto tiempo hace de la muerte de ese organismo.
El carbono-14 es un isótopo del carbono normal, el
carbono-12. Es decir tienen el mismo número atómico (número de protones
o de electrones), pero distinto peso atómico, pues tiene 2 neutrones más
que el carbono-12. Los isótopos suelen ser radiactivos, es decir, se
desintegran emitiendo rayos o partículas para convertirse en otro
elemento o en otro isótopo. El carbono-14 emite un rayo convirtiéndose
en Nitrógeno. La vida media hace referencia al tiempo necesario para que
la cantidad de isótopos originales se reduzca a la mitad.
- El Helio (He, con número atómico 2) es un
gas a temperatura ambiente y es el gas utilizado para inflar los globos
infantiles que suben en el aire, ya que este gas es más ligero que el
aire que nos rodea. Este gas procede del interior de la tierra y es
extraido en las extracciones petrolíferas junto con el petróleo y el gas
natural. El helio también es producido en el Sol por fusión de dos
átomos de hidrógeno (H, 1). Es decir, dos átomos de hidrógeno se unen
formando helio y liberando energía.
- Un ácido, en química, es cualquier
molécula que cede un protón a otras moléculas en una reacción química.
Los ácidos fuertes pueden ser muy corrosivos, como los usados en las
baterías de los coches (como el ácido sulfúrico, H2SO4,
de pH 1-2). El ácido clorhídrico (ClH, de pH 1) está presente en el
estómago humano y la acidez de estómago está provocada por un exceso de
este ácido en el estómago. El opuesto a un ácido es una base, que
es una molécula que acepta un protón en una reacción química.
Igualmente, las bases fuertes son también corrosivas, como la lejía. Las
bases neutralizan la acidez. Así, el veneno de abeja es ácido y puede
neutralizarse con un álcali como el jabón o el bicarbonato de sosa,
mientras que el veneno de avispa es alcalino y puede neutralizarse con
un ácido débil como el vinagre (con ácido acético, CH3COOH,
de pH 3-4) o con ácido cítrico (C6H8O7,
con pH 3) de algunas frutas (naranja, limón, pomelo...). Lo mejor contra
las picaduras de mosquitos y medusas es untarse la zona afectada con
amoníaco (NH3) rebajado con agua la tercera parte (1 parte de
amoníaco y 2 de agua). La acidez se mide en la escala pH (potencial de
Hidrógeno), que va de 1 (muy ácido) a 14 (muy básico), pasando por el pH
7 o pH neutro que no es ni un ácido ni una base, como el agua destilada.
El agua de lluvia natural suele tener un pH de 6, una débil porción
ácida llamada ácido carbónico. Sin embargo, la quema de combustibles
fósiles (gasolina, carbón...) desprenden gases como el dióxido de azufre
que al combinarse con el agua de lluvia produce ácido sulfúrico, un
ingrediente de la lluvia ácida, con un pH de 5, lo cual llega a matar
los árboles, degradar la vida acuática... y todo por culpa de la
contaminación.
- El vino se produce por fermentación.
Durante la fermentación las células de la levadura convierten el azúcar
(glucosa, C6H12O6) en alcohol (que nos
lo bebemos) y dióxido de carbono (que vuelve a la atmósfera). La
fermentación se debe producir de forma anaeróbica (sin oxígeno). Si el
vino se deja al aire libre la fermentación se detiene, por el oxígeno, y
el vino se convierte en vinagre.
- La destilación es un método para separar
una mezcla de dos líquidos que tienen distintas temperaturas de
ebullición. Por ejemplo, para separar alcohol y agua hay que calentar la
mezcla por debajo de los 100 grados celsius, para que el alcohol se
evapore y el agua no mucho, consiguiendo un vapor con mucha mayor
concentración de alcohol. Luego se enfría ese vapor, condensándose el
alcohol. El aparato tradicional usado para esta operación es llamado
alambique y es típico por su tubo en forma de escalera de caracol usado
para la condensación. El proceso de destilación es usado para crear
multitud de líquidos, como el güisqui (whisky). La gasolina y el benceno
se obtienen del petróleo en crudo también por destilación.
- Los terremotos o movimientos sísmicos son
movimientos de la tierra producidos cuando las rocas son sometidas a
compresión o tensión, partiéndose bruscamente y liberando su energía.
Los terremotos se producen mayoritariamente en los bordes de las placas
tectónicas. Es famosa la Falla de San Andrés, junto a la costa Oeste de
los Estados Unidos donde se producen muchos terremotos, siendo famoso el
desastroso terremoto de San Francisco del 17 de Octubre de 1989,
alcanzando 7.1 en la escala de Richter. Algunos geólogos sospechan que
en esa falla se puede producir un terremoto de magnitud 8, lo cual sería
un inmenso desastre. La escala de Richter mide la gravedad de los
sismos y se basa en la cantidad de energía liberada. En esta escala,
cada incremento de una unidad corresponde a un incremento de 10 veces la
cantidad de energía liberada. Así, un terremoto de magnitud 7 en esta
escala es 100 veces más potente que uno de 5. Los geólogos estiman que
la magnitud 9 es casi lo máximo que puede alcanzar un terremoto ya que
las rocas no pueden almacenar mayor energía. Naturalmente, el daño en la
superficie depende del lugar en el que se produzca el epicentro y de la
calidad de las construcciones, pero el límite peligroso está por encima
de la magnitud 6. En España, la zona más conflictiva está entre las
ciudades de Granada y Almería, afectadas por el roze de las placas
Eurasiática y Africana. Uno de los terremotos más fuertes ocurrió en
Kansu (China) en 1920, con 8.6 grados y provocando 100.000 muertos. Por
gravedad, hay que citar el terremoto de Tangshan (China) de 8.0 grados
que en 1976 provocó 695.000 muertos. Las muertes humanas por esta causa
pueden evitarse en gran parte, pues lo grave no son las sacudidas sino
la caída de los edificios mal construidos. En zonas sísmicas los
edificios deberían construirse con técnicas especiales para evitar su
derrumbamiento. Durante un terremoto es mejor permanecer dentro de los
edificos bajo una mesa robusta y cerca de una columna o pilar del
edificio. Los tsunamis son olas provocadas por terremotos y que al
llegar a la costa el agua se agolpa creando olas inmensas y muy
destructivas. Una de las mayores olas tsunamis chocó con la isla de
Ishigaki en Japón, en 1971, y tenía 85 metros de altura.
- John Dalton (1766-1844), químico inglés,
es más famoso por la patología que sufría en los ojos que le
imposibilitaba distinguir los colores que por sus logros científicos que
le han valido ser considerado como padre de la química moderna. Dalton
creía que sus ojos estaban bañados por un líquido azul que absorbía el
rojo, pero como no pudo cerciorarse, dispuso en su testamento que sus
ojos fueran disecados para confirmar su teoría, y así se hizo a su
muerte, en 1844. Más de un siglo después, un equipo de científicos
británicos (John Hunt y John Molton) analizaron sus ojos y su ADN y se
averiguó que Dalton padecía un daltonismo de tipo deuteranopo (incapaz
de ver el verde) y no de tipo pronatopo (incapaz de ver el rojo), como
se creía. Además, un deuteranopo describió los cambios de color de una
flor exactamente igual que lo hizo Dalton en sus escritos. El daltonismo
(o discromatopsia) es una enfermedad más común de lo que la gente cree,
pues la padece cerca de un 8% de la población aproximadamente. En la
mayoría de los casos es una enfermedad hereditaria y entonces es
incurable, afectando principalmente a los hombres (está determinada por
genes recesivos del cromosoma sexual X).
- La luminiscencia es una emisión de luz
"fría". Hay sustancias, llamadas luminiscentes, que al ser expuestas a
la luz los electrones de sus átomos se excitan y saltan a órbitas más
externas. Al volver a su estado normal emiten un fotón de luz. El
intervalo que transcurra hasta que vuelvan a su órbita determinará el
tiempo durante el cual la sustancia emitirá luz. Si ese tiempo es corto,
el fenómeno se llama fluorescencia (como una pantalla de
televisión) y si es largo se llama fosforescencia (como los
números de un reloj). La lumniniscencia también se da por reacciones
químicas, como cuando el fósforo amarillo se oxida con el aire
produciendo una luz verde, típica de algunos seres vivos como las
luciérnagas o ciertos peces abisales. También se produce luminiscencia
por ciertas radiaciones, como sucede con la luz ultravioleta (luz
negra), que hace brillar ciertas prendas de vestir (sobretodo blancas),
y que es muy usada en las discotecas.
- El efecto Magnus, así denominado en honor
al físico y químico alemán Heinrich Gustav Magnus (1802-1870), es muy
usado por deportistas en deportes de pelota (futbol, rugby, golf, tenis,
ping-pong, voleibol...), para conseguir lo que se suele llamar un tiro
con efecto, es decir que la pelota consiga una trayectoria ligeramente
circular (vista desde arriba), consiguiendo una curva muy complicada de
describir. Gracias a este efecto es posible conseguir en fútbol, incluso
con el viento en calma, un gol directo de saque de esquina (corner)
o conseguir que un saque de falta esquive la barrera como si la pelota
estuviera teledirigida. El efecto Magnus es una consecuencia del giro de
la pelota sobre sí misma mientras avanza en el aire, y consiste en la
aparición de una fuerza perpendicular al eje de rotación y a la
dirección de movimiento. En golf esto es tan importante que las pelotas
de golf se hacen con unos hoyuelos en su superficie para modificar el
arrastre que ha de tener sobre el aire.
- Los vientos mueven el aire por todo el
planeta equilibrando la temperatura de la Tierra. Los fuertes vientos,
como huracanes y tornados, ocurren cuando se juntan masas de aire
caliente con aire frío. Como el aire caliente tiende a subir y el aire
frío a bajar, este cambio de posición se puede producir de forma brusca
y debido a la rotación de la tierra se forman remolinos de aire a gran
velocidad que pueden ser muy destructivos. La mayor velocidad registrada
fue de 371 Km/h. Los huracanes giran en sentido antihorario en el
hemisferio Norte y en sentido horario en el hemisferio Sur. Para medir
la velocidad del viento según los efectos observables de éste, existe la
escala de Beaufort, muy utilizada por windsurfistas, por ejemplo:
Número |
Descripción |
0
|
Calma total |
1
|
Ventolina, el humo asciende casi vertical
|
2
|
Brisa muy débil, las hojas de árbol susurran
|
3
|
Brisa ligera, las banderas ondean
|
4
|
Brisa moderada, las ramas de árbol pequeñas
se mecen |
5
|
Brisa fresca, los árboles pequeños se mecen
|
6
|
Brisa fuerte, las ramas grandes de agitan
|
7
|
Viento fuerte, se agita el árbol entero
|
8
|
Viento duro, se hace difícil andar contra el
viento |
9
|
Viento muy duro, las tejas se caen y las
ramas se rompen |
10
|
Temporal, casas dañadas y árboles arrancados
|
11
|
Borrasca, edificios seriamente dañados
|
12
|
Huracán, daños devastadores |
- En ajedrez, el número de movimientos
distintos que pueden llevar a cabo los 2 jugadores en las 4 primeras
jugadas es de 318.879.464.000. El número de partidas distintas que
pueden ser jugadas al ajedrez es finito, pero tan inmensamente grande
que para que las calculara el ordenador más potente, se necesitarían
siglos. Es posible que el ajedrez tenga una estrategia ganadora,
es decir, una forma de jugar que seguida por un jugador concreto
(blancas o negras) éste gane siempre. Sin embargo, esta estrategia es,
si existe, imposible de calcular hoy día.
- El cine nació el 28 de Diciembre de 1895,
con la primera proyección de la mano del cinematógrafo de los hermanos
Lumière, el primer aparato que permite la toma de vistas y también la
proyección de películas (y el tiraje de copias). Para llegar a este
invento fueron necesarios muchos otros, entre los que destacan el
praxinoscopio (1880) de Emile Reynaud que fue el primer ingenio en el
mundo capaz de proyectar imágenes animadas y el kinetógrafo y el
kinetoscopio (1890) de Edison capaz de grabar auténticas películas de
cine y de reproducirlas aunque sólo podía verla un único espectador. La
incorporación del sonido al cine data de 1927, el technicolor de 1935 y
el cinemascope de 1952.
- La cámara de televisión fue inventada por
el ruso Zworykin en 1923 y tres años más tarde, el ingeniero escocés
John Logie Baird realizó una demostración de transmisión de imágenes de
3'8x5 cm. con una definición de 30 líneas. Las primeras emisiones
públicas de televisión se hicieron con el método Baird en 1929 en Gran
Bretaña. Con el tiempo, se aumentó el número de líneas y se llegó a una
frecuencia de imágenes de 25 ó 30 imágenes por segundo. La emisión de
televisión en color se desarrolló en Europa a partir de 1962. Las
cámaras de vídeo con cinta magnética nacieron en 1956, pero el formato
doméstico VHS (Video Home System) es de los primeros años de la década
de 1970.
- Los electrodomésticos más importantes son
de este siglo. La lavadora automática se fabricó por primera vez en
1901, el primer lavavajillas es de 1912, el primer frigorífico data de
1918 y con congelador de 1939. Los primeros hornos microondas se
vendieron en EE.UU. en 1953.
- La telegrafía tiene su origen en los
trabajos del alemán Von Soemmering (1810) y de los ingleses W.F. Cooke y
C. Wheatstone (1839). Sin embargo, el primer sistema práctico fue
construído por S.F.B. Morse, en el que utilizaba el famóso Código Morse
de puntos y rayas. Este sistema era binario (sólo usaba 2 estados: punto
y raya) y completamente serie (sólo necesitaba 2 hilos, lo cual, reducía
costes). El primer aparato Morse hacía honor al nombre de "telégrafo",
que proviene del griego "hacer marcas a distancia", y consistía en un
sistema con una pluma en contacto con un tambor rotativo de papel,
produciendo una marca continua. Entonces, los impulsos de codificación
eran corrientes eléctricas que activaban un electroimán moviendo
momentáneamente la pluma del papel y produciendo así una línea ondulada.
Con un poco de práctica, los operadores del telégrafo descubrieron que
no necesitaban observar el papel para descifrar el mensaje sino que les
bastaba con escuchar el sonido que hacía la pluma al escribir. Por eso,
el registrador gráfico se sustituyó por otro instrumento mucho más
simple, llamado resonador, que producía sonidos en vez de marcas.
En ese momento debería haberse cambiado el nombre del aparato por
"teléfono" (del griego "hacer sonidos a distancia"). Es famosa la
codificación Morse de las letras S (3 puntos) y O (3 rayas), para formar
la voz internacional de petición de auxilio, S.O.S. (en Morse ··· ---
···), la cual es fácilmente distinguible incluso en un ambiente con
muchas interferencias. La interpretación de S.O.S. como del inglés "Save
Our Souls" ("Salvad Nuestras Almas") es posterior.
- La leche es un alimento muy completo que
contiene: Agua, grasas, proteínas (la caseína, rica en fósforo, es la
más importante), carbohidratos, vitamina A, potasio, fósforo,
tensioactivos... A temperatura ambiente, los tensioactivos hidrófilos se
fijan al agua y los hidrófobos se fijan a las grasas. A estos
corpúsculos grasos se le une la caseína, que evita que se repelan entre
sí por sus cargas negativas. Estos corpúsculos grasos flotan (por la
teoría de Arquímedes) y poco a poco llegan a la superficie formando una
capa blanca que llamamos nata. Si calentamos la leche sin cesar,
el proceso anterior ocurre más rápidamente y la nata se transforma en
una auténtica tapadera de la leche. Al comenzar a hervir, el vapor de
agua que se forma en la parte inferior sube y las burbujas empujan a
esta tapadera, la levantan y la leche se sale del recipiente.
- El agua es una molécula formada por 2
átomos de Hidrógeno (H) y uno de Oxígeno, por lo que su fórmula química
es H2O. Esta unión es tan fuerte que por mucho tiempo se
creyó que el agua era un elemento y no un compuesto. Al unirse estos 3
átomos se forma una nueva nube de electrones alrededor de los 3 núcleos,
que se situan en forma de triángulo (no en línea). De esta forma se
obtiene una molécula bipolar, es decir que tiene dos polos: Negativo en
el lado del oxígeno y positivo en el lado de los átomos de hidrógeno. La
nube de electrones adopta una forma extraña (enlace de hidrógeno) que
hace que atraiga a los átomos de hidrógeno de otras moléculas de agua,
uniéndose fuertemente y causando algunas de las curiosas y necesarias
propiedades que tiene el agua:
- Capilaridad y Tensión Superficial: La
capilaridad es la propiedad que tiene un líquido a subir por un tubo,
desafiando la fuerza de la gravedad. El nivel que alcanza es
directamente proporcional a la tensión superficial del líquido e
inversamente proporcional al grosor interno del tubo. El agua tiene
una gran tensión superficial debido a sus enlaces de hidrógeno, que
buscan adherirse a las paredes del tubo. Esto hace que tenga una gran
capilaridad, algo que resulta indispensable para que el agua pueda
subir por el tallo de plantas, árboles... Si esto no fuera así no
podrían existir las plantas y la vida en el planeta desaparecería.
Esta propiedad también es utilizada por la sangre para circular por
los diversos organismos, y es la causa de que se forme una pequeña
curvatura ("menisco") en la orilla de la superficie del líquido cuando
éste está contenido en un vaso.
- Densidad: Normalmente las sustancias al
enfriarse se hacen más densas, pero en el agua ocurre todo lo
contrario. Esto hace que el hielo tenga menos densidad que el agua
líquida y, por tanto, el hielo flota en el agua. De hecho, el agua
consigue su mayor densidad a los 4ºC. Por debajo de esa temperatura el
agua disminuye su densidad hasta que se congela. Cuando la temperatura
baja, las moléculas pierden movilidad y tienden a unirse más
fuertemente, pero separándose unas moléculas de otras, disminuyendo
así su densidad y aumentando su volumen. Por eso, el agua al
congelarse aumenta su volumen y flota. Esta propiedad es fundamental
para los peces y otros animales, pues cuando hace frío el agua se
congela y al flotar hace que sólo se congele el agua de la superficie,
evitando que el frío congele el agua inferior. Si esto no fuera así,
se congelaría toda el agua y morirían todos los animales acuáticos.
- Solubilidad: El agua pura no existe en
la naturaleza, pues el agua permite disolver fácilmente en ella otras
sustancias. Además, algunas de estas sustancias son fundamentales para
la vida y, si el agua no pudiera disolverlas, la vida desaparecería.
Por ejemplo, el agua de ríos y mares lleva oxígeno disuelto que
respiran los peces. Esta característica es fundamental para la vida,
pero tiene el inconveniente de que hace que el agua sea muy fácil de
contaminar. Como demostración de esto último véase, por ejemplo, el
mar Mediterráneo, el río Ebro, el río Po y... tantos otros ríos y
mares. El agua es el mejor solvente, aunque esto no significa que
pueda disolver todas las sustancias. Por ejemplo, el aceite no puede
ser disuelto por el agua. La solubilidad del agua se debe a que es una
molécula bipolar, con dos polos (positivo y negativo) y esto hace que
se comporte como un imán atrayendo y repeliendo los distintos átomos
de otras sustancias.
- Capacidad Calórica (o calor específico):
Es la cantidad de calor necesaria para elevar (o descender) la
temperatura de una cierta cantidad de una sustancia. Se llama caloría
a la cantidad de calor necesaria para elevar (o descender) 1ºC la
temperatura de 1 gramo de agua. El agua tiene muy alta su capacidad
calórica (4200 J/Kg/ºK), es decir, necesitamos aplicar mucho calor
para elevar poco su temperatura. El alcohol, por ejemplo tiene su
capacidad calórica un poco menor que la del agua (2400 J/Kg/ºK) y con
menor que ésta tenemos el hielo (2100 J/Kg/ºK), el marmol (880
J/Kg/ºK), el vidrio (630 J/Kg/ºK), el acero (450 J/Kg/ºK), el cobre
(380 J/Kg/ºK) y el plomo (130 J/Kg/ºK), por ejemplo. Así, si
calentamos un recipiente con agua, notaremos que muy pronto el
recipiente se ha calentado mucho, pero que el agua tarda mucho más en
calentarse. Esta propiedad, unida a que en el planeta tierra existe
mucha superficie con agua, hacen menos bruscos los cambios de
temperatura entre el día y la noche y entre las estaciones del año. Si
esto no fuera así, los días serían abrasadores y las noches serían muy
gélidas. Esta propiedad se debe a que el agua traduce la energía que
se le aplica en vibraciones moleculares, retardando así su
calentamiento y esto es consecuencia de que los enlaces de hidrógeno
mantienen muy ordenadas las moléculas del agua.
- Temperatura de Ebullición: Es la
temperatura con la que el agua se convierte en gas (vapor de agua) y
depende de la altitud (presión atmosférica): A mayor altitud (menor
presión), menor temperatura de ebullición. Por otra parte, los
compuestos más ligeros se evaporan a menor temperatura que los más
pesados. Siguiendo esta regla, sabiendo que el peso molecular del agua
es 18 y comparándo con otras sustancias, deducimos que la temperatura
de ebullición del agua debería ser 91º bajo cero y entonces, a
temperatura ambiente no habría agua líquida y, por tanto, no habría
vida. Sin embargo, la temperatura de ebullición del agua es, por
fortuna, bastante mayor: 100ºC aproximadamente. Esto es así debido a
que los átomos de agua están tan fuertemente unidos que se necesita
mucha energía (calor) para separarlas (convirtiéndolas en gas). En una
olla a presión, como el vapor de agua no puede escapar, aumenta la
presión y así aumenta la temperatura de ebullición del agua,
situándose por encima de los 100ºC y consiguiendo que los alimentos se
cocinen más rápidamente.
- El sonido son unas vibraciones que
recorren un determinado material haciendo que las partículas de este
material se contraigan o expandan. Por tanto, el sonido no puede viajar
en el vacío, al contrario de como ocurre con las ondas electromagnéticas
(luz...). La velocidad del sonido varía según el medio y la temperatura:
En aire a 20ºC viaja a 343 m/sg, en aire a 100ºC viaja a 390 m/sg, en
agua a 20ºC viaja a 1483 m/sg y en acero viaja a 5060 m/sg. El volumen
del sonido depende de los cambios de presión en el medio y se mide en
decibelios (dB). El tono del sonido indica lo agudo o grave del mismo y
depende de la frecuencia de los cambios de presión y se mide en herzios
(Hz, vibraciones por segundo). Así, el humano es capaz de generar
sonidos entre 85 y 1.100 Hz y oye sonidos entre 20 y 20.000 Hz, el
murciélago es capaz de generar sonidos entre 10.000 y 120.000 Hz y oye
sonidos entre 1000 y 120.000 Hz, y el perro es capaz de generar sonidos
entre 450 y 1.080 Hz y oye sonidos entre 15 y 50.000 Hz.
- "El hombre que calculaba" (1972), es un
libro de Malba Tahan (seudónimo de un profesor de matemáticas portugués)
en el que cuenta las aventuras de un curioso matemático persa llamado
Beremiz Samir. Durante la vida y viajes de Beremiz se le van planteando
problemas a los que va dando solución de formá fácil, aplicando
sencillas reglas matemáticas. Algunos de los problemas que plantea el
libro son los siguientes:
- Iba Beremiz y un amigo montados en un camello
propiedad de éste último, cuando se encontraron a tres hermanos
discutiendo, pues recibieron de herencia 35 camellos, pero el padre de
ellos decidió que fueran repartidos de la siguiente forma: La mitad
para el mayor, la tercera parte para el mediano y la novena parte para
el más joven. Como las divisiones no eran exactas, ninguna partición
les parecía justa a todos. Entonces Beremiz, añadió el camello de su
amigo a la herencia, a lo cual no se opusieron los 3 hermanos. Así,
Beremiz dijo que la partición entonces era, tal y como indicó su
padre, 18 camellos para el mayor (36/2), 12 para el siguiente hermano
(36/3) y 4 camellos para el más pequeño (36/9). Así, todos salían
ganando con la partición, sobrando 2 camellos (36-18-12-4=2), uno que
era el que su amigo añadió a la herencia y que se lo devolvieron y el
otro se lo dieron a él por resolver el problema.
- La famosa leyenda del origen del juego de
ajedrez, sostiene que un rey indú, de la provincia de Taligana,
llamado Iadava, perdió a su hijo el príncipe Adjamir en una guerra
contra el aventurero Varangul. Su tristeza fue tan grande que prohibió
toda celebración de la victoria y se pasó años recordando la fatal
batalla, hasta que un joven y pobre brahmán, que es llamado Lahur
Sessa, pidió audiencia para enseñarle un juego que él había inventado,
para distraer al monarca. Al rey le gustó mucho el juego y le ayudó a
ver que, a veces, para ganar hay que sacrificar alguna pieza valiosa y
que un rey no vale nada sin su pueblo. El rey le ofreció como
recompensa todo lo que él pidiera, pero no pidió nada, pues se sentía
recompensado con la satisfacción de haberle enseñado el pasatiempo.
Sin embargo, el rey insistió tanto en que eligiera una recompensa, que
Lahur Sessa se la pidió en forma de granos de trigo: uno para la
primera casilla del tablero de ajedrez, dos para la segunda, cuatro
para la tercera, ocho para la cuarta y así, el doble de la anterior
para cada casilla, hasta la última, la 64. El número resultante de
esta suma es de tal magnitud que el rey no pudo pagar la recompensa,
pues sembrando toda la India, harían falta más de 2000 siglos para
conseguir tal cantidad. Dicha cantidad S puede fácilmente calcularse
por la ecuación:
S = 264 - 1 =
18.446.744.073.709.551.615
Se calcula que, sembrando toda la Tierra, de
Norte a Sur, y obteniendo una cosecha por año, se tardarían unos 450
siglos en conseguir tal cantidad de granos de trigo. Si contáramos los
granos a razón de 5 por segundo, trabajando día y noche sin parar, se
tardaría 1170 millones de siglos.
- Con "cuatro cuatros" y aplicándoles simples
operadores matemáticos se pueden conseguir gran variedad de números.
Los matemáticos dicen que se pueden conseguir todos del 0 al 100, sin
que en la expresión aparezca otros números o letras. Por tanto hay que
usar 4 cuatros y pueden emplearse sumas (+), restas (-),
multiplicaciones (*), divisiones (/), factorial (!), raíz cuadrada
(sqrt), potencia y el punto decimal (.4=0.4) Muchos números tienen
varias formas de expresarlos. A continuación indicamos algunas de
ellas, expresando varias para los primeros 12 números. Para 9 números
impares no hemos encontrado una expresión con cuatro cuatros, por lo
que hemos incluido una expresión con cinco cuatros, marcándolos con el
símbolo (*). Con seis cuatros es fácil encontrar cualquier
número, pues basta sumar (o restar) 4/4 (que es 1) al número anterior
(o al siguiente):
0 = 44 - 44 = 4/4 - 4/4 = 4*4/4 - 4;
|
1 = 44 / 44 = 4/sqrt(4) - 4/4 = 4 -
sqrt(4) - 4/4; |
2 = 4/4 + 4/4 = 4 - (4+4)/4 = 4 -
sqrt(4) + 4 - 4; |
3 = (4+4+4) / 4 = (4*4 - 4)/4 =
sqrt(4)/.4 - 4 + sqrt(4); |
4 = 4 + (4-4)/4 = 4 - (4-4)/4 = 4 -
(4-4)*4; |
5 = (4*4 + 4) / 4 = (4 + 4 + sqrt(4))
/ sqrt(4) = sqrt(4)/.4 + 4 - 4; |
6 = (4+4)/4 + 4 = 4*4 /4 + sqrt(4) =
sqrt(4)/.4 + 4/4; |
7 = 44/4 - 4 = (4*4 - sqrt(4)) /
sqrt(4) = sqrt(4)/.4 + 4 - sqrt(4); |
8 = 4 + 4 + 4 - 4 = sqrt(4*4) +
sqrt(4*4) = 4/.4 - 4 + sqrt(4); |
9 = 4/4 + 4 + 4 = 44/4 - sqrt(4) =
4/.4 - 4/4; |
10 = (44-4) / 4 = 4 * 4 - 4!/4 = 4/.4
+ 4 - 4; |
11 = 44 / sqrt(4*4) = 4! - (4! +
sqrt(4)) / sqrt(4) = 4/.4 + 4/4; |
12 = 4! - 4 - 4 - 4; |
13 = 4! - 44/4; |
14 = 4 + 4 + 4 + sqrt(4); |
15 = 44/4 + 4; |
16 = 4 + 4 + 4 + 4; |
17 = 4 * 4 + 4/4; |
18 = 4! - 4 - 4 + sqrt(4);
|
19 = 4! - 4 - 4/4; |
20 = 4! - 4 - 4 + 4; |
21 = 4! - 4 + 4/4; |
22 = 4! - (4 + 4)/4; |
23 = 4! - 4(4 - 4);
|
24 = 4! + (4 - 4)*4; |
25 = 4! + 4(4 - 4);
|
26 = 4! + (4 + 4)/4; |
27 = 4! + 4 - 4/4; |
28 = 4! + 4 + 4 - 4; |
29 = 4! + 4 + 4/4; |
30 = 4! + 4 + 4 - sqrt(4);
|
31 = (4! - sqrt(4))/.4 - 4!;
|
32 = 44 - 4!/sqrt(4); |
33 = 4! + 4 + sqrt(4)/.4; |
34 = 4! + 4 + 4 + sqrt(4);
|
35 = 4! + 44/4; |
36 = 44 - 4 - 4; |
37 = 4! + (4! + sqrt(4))/sqrt(4);
|
38 = 44 - 4!/4; |
39 = 44 - sqrt(4)/.4; |
40 = 4! + 4! - 4 - 4; |
41 = (4! + sqrt(4))/.4 - 4!;
|
42 = 4! + 4! - 4!/4; |
43 = 44 - 4/4; |
44 = 44 + 4 - 4; |
45 = 44 + 4/4; |
46 = 44 + 4/sqrt(4); |
47 = 4! + 4! - 4/4; |
48 = 4! + 4! + 4 - 4; |
49 = 4! + 4! + 4/4; |
50 = 44 + 4!/4; |
51 = (4! - sqrt(4))/.4 - 4;
|
52 = 44 + 4 + 4; |
53 = 4! + 4! + sqrt(4)/.4;
|
54 = 4! + 4! + 4!/4; |
55 = 4!/.4 - sqrt(4)/.4; |
56 = 4! + 4! + 4 + 4; |
57 = (4! - sqrt(4))/.4 + sqrt(4);
|
58 = (4! + 4)*sqrt(4) + sqrt(4);
|
59 = (4! - sqrt(4))/.4 - 4;
|
60 = (4 * 4 * 4) - 4; |
61 = 4!/.4 + 4/4; |
62 = (4 * 4 * 4) - sqrt(4);
|
63 = (4! + sqrt(4))/.4 - sqrt(4);
|
64 = 4! + 4! + (4 * 4); |
65 = 4!/.4 + sqrt(4)/.4; |
66 = (4 * 4 * 4) + sqrt(4);
|
67 = (4! + sqrt(4))/.4 + sqrt(4);
|
68 = (4 * 4 * 4) + 4; |
69 = (4! + sqrt(4))/.4 + 4;
|
70 = 4! * 4 - 4! - sqrt(4);
|
71 = (4! + 4 + .4) / .4; |
72 = 4! * (4 - 4/4); |
73 (*) = 4! + 4! + 4! + 4/4;
|
74 = 4! * 4 - 4! + sqrt(4);
|
75 = (4! + 4 + sqrt(4))/.4;
|
76 = 4! + 4! + 4! + 4; |
77 (*) = (4 - 4/4)4 - 4;
|
78 = (4! - 4)*4 - sqrt(4);
|
79 = (4! - sqrt(4))/.4 + 4!;
|
80 = 4! * 4 - (4 * 4); |
81 = (4 - 4/4)4;
|
82 = 4!/.4 + 4! - sqrt(4);
|
83 = ((4!-.4) / .4) + 4!; |
84 = (4! - 4)*4 + 4; |
85 = ((4!+.4) / .4) + 4!; |
86 = 44*sqrt(4) - sqrt(4);
|
87 (*) = 44 * sqrt(4) - 4/4;
|
88 = 44 + 44; |
89 = (4! + sqrt(4))/.4 + 4!;
|
90 = 4! * 4 - 4!/4; |
91 = 4! * 4 - sqrt(4)/.4; |
92 = 4! + 4! + 44; |
93 (*) = 4! * 4 - 4 + 4/4;
|
94 = 4! * 4 - 4/sqrt(4); |
95 = 4! * 4 - 4/4; |
96 = 4! * 4 + 4 - 4; |
97 = 4! * 4 + 4/4; |
98 = 4! * 4 + 4/sqrt(4); |
99 (*) = 4! * 4 + 4 - 4/4;
|
100 = 4! * 4 + sqrt(4) + sqrt(4);
|
101 = 4! * 4 + sqrt(4)/.4;
|
- El geómetra y matemático griego Diofanto,
(325-409) es famoso por el problema de su epitafio: "He aquí el túmulo
de Diofanto, maravilla para quien lo contempla; con artificio aritmético
la piedra enseña su edad. Dios le concedió pasar la sexta parte de su
vida en la juventud; un duodécimo en la adolescencia; un séptimo en un
estéril matrimonio. Pasaron cinco años más y le nació un hijo. Pero
apenas este hijo había alcanzado la mitad de la edad del padre, cuando
murió. Durante cuatro años más, mitigando su dolor con el estudio de la
ciencia de los números, vivió Diofanto, antes de llegar al fin de su
existencia". La solución a este problema nos dice que Diofanto murió con
84 años, resultado que se obtiene solucionando la ecuación siguiente:
x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x
- El número Pi, p,
representado por la letra minúscula griega de igual nombre, es la razón
entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro
(p=Perímetro/Diámetro). Es un número muy relevante y la obtención de
sucesivas cifras decimales ha sido y sigue siendo objeto de estudio. A
continuación exponemos algunos hechos relacionados con este número:
- En distintas culturas (china, egipcia, europea,
india...) se trató de obtener mejores aproximaciones de p por ser de
aplicación en campos tan distintos como la astronomía o la
arquitectura.
- Modernamente para evaluar p se utiliza una
serie infinita convergente, método que fue utilizado por primera vez
en Kerala (India) en el Siglo XV.
- La probabilidad de que dos enteros positivos
escogidos al azar sean primos entre si es 6/p2.
- Si se eligen al azar dos números positivos
menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser
los lados de un triángulo obtusángulo es (p-2)/4.
- En 1706, el inglés William Jones fue el primero
en utilizar la letra griega para denotar este número. Euler en su obra
"Introducción al cálculo infinitesimal", publicada en 1748, afianzó
definitivamente esta notación.
- Muchos intentos para determinar p con exactitud
están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del
círculo : "construir, utilizando únicamente regla y compás, un
cuadrado de area igual a un círculo dado".
- Johan Heinrich Lambert (1728-1777), matemático
alemán, probó que p es irracional.
- Ferdinand Lindemann (1852-1939) demostró que p
es un número trascendente. Esto significa entre otras cosas que
el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a
ello, todavía se sigue intentando.
- El matemático francés Maurice Decerf, escribió
un poema de 126 palabras en el que cada palabra, por orden, tiene
tantas letras como un dígito de p, en el mismo orden (el cero lo
representaba con una palabra de 10 letras). Los 2 primeros versos nos
dan 13 decimales: Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux
sages Glorieux Archimède artiste ingenieux.
- Versos y frases como el anterior existen en
multitud de idiomas, como por ejemplo la frase de Julio Zuniga: Con
1 palo y 5 ladrillos se pueden hacer mil cosas. Los siguientes
versos de nuestra pluma nos dan 77 decimales:
Ves a Dios y sabes realmente lo oculto,
magia con magia, tremenda maravilla,
cálculo laborioso con no más misterio:
Este número es mágico.
Sólo ves los primeros,
mas no quieras registrar todos.
Suponiendo su infinito, infinita cosa
y maravilla sientes y tienes.
Admiradlo con sencillez increible,
más respeto total y lentamente surge
eminente la formidable infinitud,
sentida como grandiosa.
Esta gran cifra simboliza la paz,
comuniones comunes, justicia y cariño.
Cada provechoso pueblo
es buscador tozudo de maravillas.
- Algunos valores de p obtenidos antes de 1900:
- Papiro Rhind o de Ahmes (Egipto, 4000 a.C.),
que es uno de los documentos matemáticos más antiguos: (16/9)2
= 3.160494;
- Tablilla de Susa (Babilonia, 1600 a.C.):
3.125;
- La Biblia (Reyes-I-7-23, 550 a.C.): 3;
- Bandhayana (India, 500 a.C.): 3.09;
- Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.): Entre
223/71 y 220/70;
- Liu Hui (China, 260 d.C.): 3.1416;
- Tsu Chung Chih (480 d.C.): Entre 3.145926 y
3.1415927;
- Al-Khowarizmi (800 d.C.): 3.1416 (3 decimales
correctos);
- Bhaskhara, el Sabio (India, siglo XII): 3 +
17/120;
- Fibonacci (1220 d.C.): 3.141818;
- Al-Kashi (Persia, 1429): 14 decimales;
- Franciscus Viete (Francia, 1540-1603, en
1593): 9 decimales;
- Newton (Inglaterra, 1642-1727, en 1665 d.C.):
16 decimales;
- William Shanks, matemático inglés, dedico 20
años de su vida a la obtención de 707 decimales de p. En 1945 se
descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir
de éste todos los demás eran incorrectos.
- Con los ordenadores todo fue mucho más fácil:
- En 1949, Reitwiesner con uno de los primeros
ordenadores el ENIAC, trabajando durante 70 horas, determinó p con
2037 decimales.
- En 1959, Guilloud obtuvo 16.167 decimales.
- En 1961 Daniell Shanks y Wrench, obtuvieron
en 8 horas y 23 minutos, 100.265 cifras en un ordendador IBM 7090.
- En Octubre de 1995, Daisuke Takahashi y
Yasumasa Kanada llegaron a obtener 6.442.450.938 decimales tras
superar varios records suyos anteriores.
- En Julio de 1997, los mismos Yasumasa Kanada
y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras, utilizando un
ordenador HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.
- Valor de p con 20000 decimales: 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944
5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647
0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559
6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165
2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953
0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724
8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737
1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901
2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960
8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951
0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035
2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532
1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
3809525720 1065485863 2788659361 5338182796
8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151
5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746
4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 8583616035 6370766010
4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464
6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803
8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279
6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983
8505494588 5869269956 9092721079 7509302955 3211653449 8720275596
0236480665 4991198818 3479775356 6369807426 5425278625 5181841757
4672890977 7727938000 8164706001 6145249192 1732172147 7235014144
1973568548 1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333
4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 5688767179
0494601653 4668049886 2723279178 6085784383 8279679766 8145410095
3883786360 9506800642 2512520511 7392984896 0841284886 2694560424
1965285022 2106611863 0674427862 2039194945 0471237137 8696095636
4371917287 4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009
9465764078 9512694683 9835259570 9825822620
5224894077 2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203
4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151 5709858387
4105978859 5977297549 8930161753 9284681382 6868386894 2774155991
8559252459 5395943104 9972524680 8459872736 4469584865 3836736222
6260991246 0805124388 4390451244 1365497627 8079771569 1435997700
1296160894 4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506
0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398 6456596116
3548862305 7745649803 5593634568 1743241125 1507606947 9451096596
0940252288 7971089314 5669136867 2287489405 6010150330 8617928680
9208747609 1782493858 9009714909 6759852613 6554978189 3129784821
6829989487 2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364
5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610 2135969536
2314429524 8493718711 0145765403 5902799344 0374200731 0578539062
1983874478 0847848968 3321445713 8687519435 0643021845 3191048481
0053706146 8067491927 8191197939 9520614196 6342875444 0643745123
7181921799 9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961
5679452080 9514655022 5231603881 9301420937
6213785595 6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215
0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518 6660021324
3408819071 0486331734 6496514539 0579626856 1005508106 6587969981
6357473638 4052571459 1028970641 4011097120 6280439039 7595156771
5770042033 7869936007 2305587631 7635942187 3125147120 5329281918
2618612586 7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116
7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396 5725121083
5791513698 8209144421 0067510334 6711031412 6711136990 8658516398
3150197016 5151168517 1437657618 3515565088 4909989859 9823873455
2833163550 7647918535 8932261854 8963213293 3089857064 2046752590
7091548141 6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923
2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730 5836041428
1388303203 8249037589 8524374417 0291327656 1809377344 4030707469
2112019130 2033038019 7621101100 4492932151 6084244485 9637669838
9522868478 3123552658 2131449576 8572624334 4189303968 6426243410
7732269780 2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396
6655730925 4711055785 3763466820 6531098965
2691862056 4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045
3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560 8455296541
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